Los problemas aditivos

 

Los problemas aditivos

Los problemas aditivos son aquellos en los que intervienen sumas y/o restas. Ambos conceptos se analizan en conjunto. No enseñamos primero a sumar o a restar y después problemas que involucren dichas operaciones.

Es necesario además tener en cuenta que debemos abordar distintos problemas en diferentes momentos de la escolaridad, porque se aprende en forma continua, constante y dinámica.

El campo de problemas y la construcción de las estrategias de cálculo son aspectos que están totalmente relacionados. De acuerdo a sus conocimientos, los alumnos podrán construir distintos procedimientos para resolver problemas aditivos. Es fundamental dejarlos que piensen, que se equivoquen y que vuelvan a empezar.

Otro aspecto a tener en cuenta es el tipo de números involucrados en las situaciones problemáticas. Los números son variables didácticas que permitirán resaltar u ocultar las propiedades con las que pretendemos que los alumnos trabajen y construyan diferentes estrategias de cálculo. Es decir, cambiándolos se producen modificaciones en los procesos de resolución que cada alumno elabore.

Analicemos las diferentes temáticas que facilitan el trabajo con los problemas del campo aditivo.

Los sentidos de la suma y la resta

Para poder abordar los distintos sentidos de las operaciones, es necesario que las incógnitas estén ubicadas en diferentes lugares y con las mismas magnitudes o distintas.

Problemas de medidas

Son los problemas que involucran medidas de distintos tipos y en los que el resultado involucra la misma medida que se tiene. Por ejemplo:

1. El lunes, Valeria puso en una caja 5 tapitas azules y 4 tapitas amarillas el martes. ¿Cuántas tapitas juntó?

2. Valeria tiene en la caja 27 tapitas azules y 79 tapitas amarillas. ¿Cuántos tapitas hay en la caja? 3. Valeria tiene 9 tapitas de las cuales 5 son azules y las otras amarillas. ¿Cuántos tapitas amarillas tiene?

Problemas como el 1, presentado desde los primeros días de la escolaridad, permiten estrategias de conteo o de dibujo que van formando lentamente el concepto de adición. En este caso se dan como datos dos medidas (cantidad de tapitas) y se pide otra medida.

 

Problemas de transformaciones

Es necesario presentar en el aula este otro tipo de problemas. Veamos ejemplos:

1. Sandra tenía 5 figuritas y ganó 6. ¿Cuántas figuritas tiene ahora?

2. Sandra tenía 5 figuritas. Ganó algunas y ahora tiene 11. ¿Cuántas figuritas ganó?

3. Sandra tenía algunas figuritas. Ganó 6 y ahora tiene 11. ¿Cuántas figuritas tenía?

4. Sandra tenía 11 figuritas y perdió 2. ¿Cuántas figuritas tiene ahora?

5. Sandra tenía 11 figuritas. Perdió algunas y ahora tiene 6. ¿Cuántas perdió?

6. Sandra tenía algunas figuritas. Perdió 5 y ahora tiene 6 figuritas. ¿Cuántas figuritas tenía?

En estos problemas, si bien los números son parecidos, se presenta una posición inicial (cantidad de figuritas al comienzo), una transformación (ganar o perder), y una posición final (cantidad de figuritas al final). Si bien los problemas parecen similares y se resuelven con una cuenta parecida, la dificultad en ellos no lo es. Para los alumnos no tienen el mismo nivel de dificultad, ya que en algunos problemas se busca la posición final, en otros la inicial, y en otros, lo que sucede en el intermedio (la transformación).

Por ejemplo, en el que problema 5, se dan como datos la posición inicial y la final, y se requiere analizar cuántas perdió. No tiene el mismo nivel de dificultad del problema 1, en el que se da la posición inicial y la transformación. Este problema es más sencillo, ya que alcanza con sobrecontar para tener la respuesta; en cambio en el 5, hay que ver cuánto se le saca o agrega al 11 para tener 6, es decir: primero hay que definir si es menos o más que al principio y luego cuánto. Por eso, es necesario tener presente que debemos generar discusiones y problemas de todo tipo.

Con esto no estamos sugiriendo que les proponga un problema “tipo” y les diga cómo resolverlo, sino que, en distintos momentos, presente varios problemas que apunten a todos los aspectos y que así, sean los alumnos los que comiencen a generar su propio concepto.

Otros problemas de transformaciones son los que involucran más de una transformación.

Veamos los siguientes ejemplos:

1. Julieta tiene 7 cartas. En la primera ronda del partido, gana 4 cartas y

después gana 2. ¿Cuántas cartas tiene al final?

2. Julieta tiene 7 cartas. En la primera ronda del partido, gana 4 cartas y

después pierde 3. ¿Cuántas cartas tiene al final?

3. Julieta tiene 7 cartas. En la primera ronda, gana algunas y en la

segunda pierde 5. Al final se queda con 5. ¿Qué pasó en la primera ronda?

 

Problemas de estados relativos

Los problemas de estados relativos involucran variables relativas a otras.

1. Pedro le debe $20 a Juana. Le devolvió $8. ¿Cuánto le debe todavía?

2. Pedro le debe $20 a Juana y Juana le debe $12 a Pedro? ¿Quién le debe a quién y cuánto?

 

Los sentidos de la división 

Hasta no hace mucho, la escuela proponía que los chicos aprendieran a resolver las cuatro operaciones básicas: sumar, restar, multiplicar y dividir mediante algoritmos, es decir, un conjunto ordenado y finito de pasos que permite arribar a una respuesta. Pero hoy sabemos que este enfoque de los saberes matemáticos reduce el valor educativo de esta disciplina. Tal como expresa Santaló “(…) la enseñanza moderna pone énfasis en la comprensión de lo que significa cada operación más que en su realización efectiva.” (Luis A. Santaló, “La matemática moderna en la escuela primaria y secundaria”)

Conocer las operaciones matemáticas no es solo aplicar una serie de pasos fijos y sucesivos para llegar a un resultado, sino conocer y decidir en qué casos una operación es adecuada y en cuáles no. Adquirir el sentido de un concepto implica determinar su grado de utilidad y también los límites de su uso. Para internalizar y aprehender el concepto de dividir, es necesario generar en el aula instancias de reflexión y validación acerca de las razones por las que una manera de resolver un problema funciona. Es un proceso de aprendizaje complejo que lleva varios años de escolaridad. Las aproximaciones comienzan desde los primeros años, a partir de dibujos y esquemas que más tarde se convertirán en operaciones. Es fundamental tener presente que una palabra no puede relacionarse con un cálculo, por ejemplo “es de dividir porque dice repartir”, sino que es preciso presentar diferentes situaciones que permitan razonar sobre el concepto sin tomar decisiones mecánicas. 

¿Cuáles son los sentidos de la división? 

Problemas de reparto 

Estos problemas tienen dos aspectos principales: el acto de repartir y determinar en cuántas partes se reparte. Por ejemplo: 

1. Fabián quiere repartir 27 caramelos entre 8 chicos de modo que todos reciban lo mismo. ¿Cuántos caramelos le da a cada uno? 

2. Fabián quiere repartir 27 caramelos. Le va a dar 8 caramelos a cada chico. ¿Para cuántos amigos le alcanzan? 

Las estrategias para resolver estos problemas son distintas. En el primero, que apunta al hecho de repartir, los alumnos pueden ir entregando un caramelo a cada chico hasta terminar. En cambio, en el segundo, que analiza la cantidad de partes en que se divide, deben darle 8 a la vez a cada uno. 

Otro tipo de problemas relacionados con el reparto son los que permiten analizar el resto. Por ejemplo: En el quiosco quieren ordenar 130 caramelos en bolsitas. En cada bolsita pondrán 6 caramelos.

a. ¿Cuántas bolsitas pueden llenar? 

b. ¿Cuántos caramelos tienen que conseguir para llenar una bolsita más?  

En b. los alumnos deben analizar que primero necesitan calcular cuántos caramelos sobran –el resto– para determinar cuántos necesitan para llenar una bolsita más. Se llenan 21 bolsitas y sobran 4 caramelos. Hay que agregar 2 caramelos para llenar 1 bolsita más. Finalmente se pueden analizar los problemas, a partir de la relación entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. 

Fernanda repartió todos los caramelos que tenía entre los 25 chicos de su año. Le dio 5 a cada chico y se quedó con 3. ¿Cuántos caramelos tenía Fernanda? 

A partir de este planteo es posible relacionar las partes de una división, pues los chicos deben analizar que primero deben calcular cuántos caramelos repartió Fernanda (25 x 5) y, luego, sumar los que se quedó (25 x 5 + 3). También hay que tener presente que a veces se reparte todo y a veces sobra. En estos casos es cuando se presentan los números fraccionarios y decimales como resultados exactos de una división. 

Problemas de iteración 

Los problemas de iteración apuntan a entender el concepto de división como la cantidad de veces que un número entra en otro. Las estrategias de los alumnos dependen mucho de los números involucrados. Analicemos este ejemplo: 

En una línea como la de esta imagen, que continúa indefinidamente, un sapo se paró en el número 65 y dio saltos para atrás de a 4 casilleros, es decir, después del primer salto está en el número 61. ¿Cuál es el número más chico al que llega antes de salir de la línea? 

 

 El problema requiere analizar cuántos pasos de 4 casilleros da el sapo hacia atrás, es decir, cuántas veces entra el 4 en 65 y cuánto sobra.

Problemas vinculados con la división exacta 

Entre estos problemas, podemos analizar los de proporcionalidad directa, donde es necesario completar una tabla o buscar una constante de proporcionalidad y los de productos de medidas, como áreas de rectángulos.

Enseñar las operaciones

 

Cuándo y cómo enseñar las operaciones

Cómo y cuándo enseñar cada una de las operaciones básicas: sumar, restar, multiplicar y dividir, son preguntas frecuentes de los docentes. Hasta no hace mucho, la escuela proponía que los alumnos aprendieran a resolver las cuatro operaciones básicas mediante un algoritmo, es decir, un conjunto ordenado y finito de pasos que permitieran arribar a una respuesta. Tradicionalmente, se enseñaba primero a sumar y luego se proponía resolver muchas cuentas similares en las que fuese necesario aplicar el algoritmo aprendido. Después, se enseñaba a restar y se procedía de igual manera.

Se consideraban casos con dificultades diversas, como escalones separados de un andamiaje que, teóricamente, permitían a los alumnos arribar a un manejo sólido del cálculo y así podían manejarse fácilmente en la resolución y el conocimiento de los problemas que involucraran dichas operaciones. Analfabeto era quien no sabía los algoritmos correspondientes de suma y resta. Sin embargo, puede constatarse que muchos alumnos “saben” la técnica para resolver, las cuentas, pero no pueden distinguir en qué casos hay que utilizarla.

Es necesario, entonces, proponer un cambio para que los chicos se enfrenten a situaciones en las que tengan que tomar decisiones y resolver problemas de distinta índole. Es decir, analizar antes de utilizar una estrategia u otra.

Algunos chicos, en lugar de razonar sobre el concepto, suelen tomar decisiones mecánicas. Por ejemplo, cuando relacionan un cálculo a una palabra: “es de resta porque dice gastó”.

Analicemos el siguiente problema:

Lucas fue al kiosco. Gastó $75 en un alfajor y $185 en un paquete de galletitas. ¿Cuánto gastó en total?

Aunque en el planteo de este problema aparece “gastó”, para resolverlo es necesario sumar los números.

En el enfoque planteado en los diseños curriculares de las diferentes jurisdicciones, se propone cambiar la resolución mecánica y mágica de formas únicas de resolver cuentas por un abanico más amplio de recursos de cálculo, entre los que se encuentra el cálculo mental y el uso de la calculadora, con el propósito de que los alumnos comprendan las razones que subyacen en las técnicas y propiedades que esconden las prácticas mecánicas.

Enseñar Matemática no es dar una explicación y varios ejercicios para afianzar la estrategia explicada. Consiste en proponer una serie de problemas para que los chicos puedan decidir qué es lo más conveniente y qué estrategia sirve o no para la resolución.

Esto nos coloca no solo ante el desafío de incluir diferentes estrategias de cálculo y aportar más herramientas para que los chicos tengan disponibles en el momento de realizar algún cálculo, sino que también hace necesario que los algoritmos tengan una construcción por parte del alumno para descartar la “magia” que los rodea y les permita su reconstrucción en el momento del olvido de la operatoria y la validación posterior. Así, el algoritmo se transformará en otra estrategia y no en la única posible.

En este sentido, Bernard Charlot, reconocido investigador francés, sostiene: “La actividad matemática no es mirar y descubrir, es crear, producir, fabricar.” Se trata, entonces, de motivar y sostener en el aula la reproducción de esos procesos de pensamiento.

Entonces, la actividad que los chicos desarrollen tendrá el mismo sentido que la de los matemáticos que elaboraron por primera vez los conceptos fundamentales de la disciplina.

La tarea docente es orientar la producción colectiva para que los alumnos elaboren estrategias propias, expliquen sus ideas, justifiquen sus procedimientos y resultados, confronten sus producciones con las de los compañeros, reflexionen sobre lo hecho, y acepten otras formas de resolución. En una clase pensada desde este enfoque, de producción colectiva y construcción de conocimientos, se pueden diferenciar cuatro momentos:

1. Lectura, en forma individual o colectiva, de la situación planteada para aclarar aquello que no se entienda, es decir, saber qué se pide y comprender todo lo que el problema plantea;

2. Discusión grupal y resolución;

3. Propuesta de debate colectivo, donde se analizan las diferentes estrategias, correctas o no y, por último,

4. Institucionalización de lo aprendido, por parte del docente.

Aprender un concepto matemático no se reduce a resolver situaciones donde, de cierta manera se sabe qué operación sirve, ya sea porque el título lo dice o porque el docente lo informó, sino que significa poder tomar la decisión de cuál es la mejor estrategia, cuándo es conveniente para ese problema y cuándo no, poder aplicar lo que les parece más sencillo, por su recorrido, y explicar sus decisiones. En este punto es donde se puede enmarcar el tratamiento del error, que no se refiere a la falta de conocimiento sino a un nivel de conceptualización o de análisis diferente, y su discusión es uno de los pilares del aprendizaje.

El alumno tiene la certeza de que sus procedimientos son correctos, por eso el trabajo sobre los por qué del error y qué situación lo provocó es uno de los debates más enriquecedores. Sin este trabajo, solamente sabrá que no llegó al resultado correcto, pero no comprenderá el motivo de su razonamiento equivocado. De todas maneras, estamos hablando de razonamientos y no de errores de cuentas. No es que lo minimicemos, pero que el error se deba a que hizo 3 + 4 = 8, no es igual a que si el problema requería realizar 3 × 4 y no 3 + 4.