Los sentidos de la división 

Hasta no hace mucho, la escuela proponía que los chicos aprendieran a resolver las cuatro operaciones básicas: sumar, restar, multiplicar y dividir mediante algoritmos, es decir, un conjunto ordenado y finito de pasos que permite arribar a una respuesta. Pero hoy sabemos que este enfoque de los saberes matemáticos reduce el valor educativo de esta disciplina. Tal como expresa Santaló “(…) la enseñanza moderna pone énfasis en la comprensión de lo que significa cada operación más que en su realización efectiva.” (Luis A. Santaló, “La matemática moderna en la escuela primaria y secundaria”)

Conocer las operaciones matemáticas no es solo aplicar una serie de pasos fijos y sucesivos para llegar a un resultado, sino conocer y decidir en qué casos una operación es adecuada y en cuáles no. Adquirir el sentido de un concepto implica determinar su grado de utilidad y también los límites de su uso. Para internalizar y aprehender el concepto de dividir, es necesario generar en el aula instancias de reflexión y validación acerca de las razones por las que una manera de resolver un problema funciona. Es un proceso de aprendizaje complejo que lleva varios años de escolaridad. Las aproximaciones comienzan desde los primeros años, a partir de dibujos y esquemas que más tarde se convertirán en operaciones. Es fundamental tener presente que una palabra no puede relacionarse con un cálculo, por ejemplo “es de dividir porque dice repartir”, sino que es preciso presentar diferentes situaciones que permitan razonar sobre el concepto sin tomar decisiones mecánicas. 

¿Cuáles son los sentidos de la división? 

Problemas de reparto 

Estos problemas tienen dos aspectos principales: el acto de repartir y determinar en cuántas partes se reparte. Por ejemplo: 

1. Fabián quiere repartir 27 caramelos entre 8 chicos de modo que todos reciban lo mismo. ¿Cuántos caramelos le da a cada uno? 

2. Fabián quiere repartir 27 caramelos. Le va a dar 8 caramelos a cada chico. ¿Para cuántos amigos le alcanzan? 

Las estrategias para resolver estos problemas son distintas. En el primero, que apunta al hecho de repartir, los alumnos pueden ir entregando un caramelo a cada chico hasta terminar. En cambio, en el segundo, que analiza la cantidad de partes en que se divide, deben darle 8 a la vez a cada uno. 

Otro tipo de problemas relacionados con el reparto son los que permiten analizar el resto. Por ejemplo: En el quiosco quieren ordenar 130 caramelos en bolsitas. En cada bolsita pondrán 6 caramelos.

a. ¿Cuántas bolsitas pueden llenar? 

b. ¿Cuántos caramelos tienen que conseguir para llenar una bolsita más?  

En b. los alumnos deben analizar que primero necesitan calcular cuántos caramelos sobran –el resto– para determinar cuántos necesitan para llenar una bolsita más. Se llenan 21 bolsitas y sobran 4 caramelos. Hay que agregar 2 caramelos para llenar 1 bolsita más. Finalmente se pueden analizar los problemas, a partir de la relación entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. 

Fernanda repartió todos los caramelos que tenía entre los 25 chicos de su año. Le dio 5 a cada chico y se quedó con 3. ¿Cuántos caramelos tenía Fernanda? 

A partir de este planteo es posible relacionar las partes de una división, pues los chicos deben analizar que primero deben calcular cuántos caramelos repartió Fernanda (25 x 5) y, luego, sumar los que se quedó (25 x 5 + 3). También hay que tener presente que a veces se reparte todo y a veces sobra. En estos casos es cuando se presentan los números fraccionarios y decimales como resultados exactos de una división. 

Problemas de iteración 

Los problemas de iteración apuntan a entender el concepto de división como la cantidad de veces que un número entra en otro. Las estrategias de los alumnos dependen mucho de los números involucrados. Analicemos este ejemplo: 

En una línea como la de esta imagen, que continúa indefinidamente, un sapo se paró en el número 65 y dio saltos para atrás de a 4 casilleros, es decir, después del primer salto está en el número 61. ¿Cuál es el número más chico al que llega antes de salir de la línea? 

 

 El problema requiere analizar cuántos pasos de 4 casilleros da el sapo hacia atrás, es decir, cuántas veces entra el 4 en 65 y cuánto sobra.

Problemas vinculados con la división exacta 

Entre estos problemas, podemos analizar los de proporcionalidad directa, donde es necesario completar una tabla o buscar una constante de proporcionalidad y los de productos de medidas, como áreas de rectángulos.